Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb wmiejsce liter iwykonaniu wskazanych działań.
Wprzypadku równań także można podstawiać liczby wmiejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład1

R1ZGzQA5pGYGN1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (1)

Liczba spełniająca dane równanie

Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej wmiejsce niewiadomej iwykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania ztymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy itylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład2

RupkdiwdEiADH1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2)

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. Wtym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając otym, że

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład3

R1c9pRjO0d98i1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (3)

Przykład4

R4Hvdj1eDHbUV1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (4)

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia zprzeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: $2 x - 5 = x + 1,$ przenosimy zprzeciwnym znakiem

$x$ na lewą stronę równania

$2 x - x - 5 = 1$

$- 5$ na prawą stronę równania

$2 x - x = 1 + 5$

$x = 6$

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba $6$ .

RJ89HTmugtbOP1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (5)

i6rXaDAENV_d5e553

Równania zjedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania

Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład5

Rozwiąż równania

$x^{2} = 25$
Rozwiązanie: $x = 5, x = - 5$
$x^{3} = 0$
Rozwiązanie: $x = 0$
$x^{2} = - 4$
Rozwiązanie: brak rozwiązania

Przykład6

Znajdź pierwiastek rozwiązania.

$2 a + b = 5$
Pierwiastek rozwiązania: np.: $a = 1, b = 3$
See Also
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe The "Minus Sign (−)" Symbol in Mathematics
$x^{2} + y^{2} = 0$
Pierwiastek rozwiązania: $a = 0, b = 0$

Przykład7

Równania, które nie mają rozwiązania:

$x + 2 = x$ , $x^{2} = - 25$

Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

$2 x - 2 x + 2 x = 2 x$ , $0 ∙ x = 0$

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe

Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia zjedną niewiadomą może:

nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

i6rXaDAENV_d5e843

Ćwiczenie1

RqYHozV72SiRA1

Zadanie interaktywne

Połącz równanie zjego rozwiązaniem.

$1$
$- 1$
$2$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$1 \frac{1}{2}$
$- 1 \frac{1}{2}$

classicmobile

Ćwiczenie2

Liczbą spełniającą równanie $2 (x - 1) + 2 = 4 x + 14$ jest

RmbIWTF3hm1QW

$- 7$
$7$
$6 \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7}$

static

classicmobile

Ćwiczenie3

Liczbą spełniającą równanie $x (x + 1) (x^{2} + 1) = 3 x^{2} + 1$ jest

R14zaTWS9uYVe

$- 1$
$1$
$2$
$- \frac{1}{3}$

static

classicmobile

Ćwiczenie4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1GNYc6uxBdIY

$- 3 (x + 2) + 4 = 6 - x,$ $x = - 4$
$- (- 8 x + 7) = 4 (x + 3) - 3,$ $x = 4$
$2 (x - 2) - 3 (x + 2) = 4 (x - 4),$ $x = - 1$
$\frac{1}{2} x - \frac{2 - x}{3} = x - \frac{1}{6},$ $x = 3$
$(2 x - \frac{1}{2}) (3 x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + x (4 x - \frac{1}{2}),$ $x = 1$

static

classicmobile

Ćwiczenie5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę $- \frac{2}{3}$ .

Ru7SxUQIGOmf1

$2 (3 x + 1) = - 1 + 4 x$
$1 + x = \frac{x + 2}{4}$
$6 x (x + 1) = - 4 (\frac{1}{2} x + \frac{2}{3})$

static

Ćwiczenie6

R1C4TgGioRgZN1

Zadanie interaktywne

Przeciągnij elementy zdolnej sekcji do górnej.

2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>, x+3=3, <math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math>, x=x, 2x+3=3+2x, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Nieskończenie wiele rozwiązań

classicmobile

Ćwiczenie7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1E2MAulNkcri

Równanie $x^{2} = 0$ ma dwa rozwiązania.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} - 3 = 1$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $\frac{13}{x} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} = 81$ ma jedno rozwiązanie.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 3 + 2 x^{2}$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x^{2} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $a + 17 = 2 a + 17 - a$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x - 2 = 2 - x$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x = x + 11$ jest równaniem tożsamościowym.

static

classicmobile

Ćwiczenie8

Które zpodanych równań jest sprzeczne?

R1JRrmZivI4aJ

$3 x - 1 = 3 x + 1$
$x - 10 = 10 - x$
$x^{2} + 2 = 0$
$2 x = - 2 x + 1$
$x + 4 = x$
$x + 9 = x + 9$

static

classicmobile

Ćwiczenie9

Które zpodanych równań jest sprzeczne?

R1Moj9BPmaoek

$- 6 x + 6 = - 6 x$
$x + x - 1 = 2 x - 1$
$x - 10 = x + 10$
$0 ∙ y = - 1$
$2 (x - 1) = 2 x - 1$

static

classicmobile

Ćwiczenie10

Które zpodanych równań są tożsamościowe?

RcejPGdhMxvFr

$2 x = 2 x$
$- (x - 7) = - x - 7$
$0 ∙ x = 0$
$4 (x + 2) = 4 x + 2$
$x^{2} + 1 = 1 + x^{2}$
$x + 6 = 6$
$- (x - 7) = 7 - x$
$x - 4 = 4 - x$
$4 (x + 2) = 4 x + 8$

static

i6rXaDAENV_d5e1404

Ćwiczenie11

R138XECs9A5CZ1

Zadanie interaktywne

Ćwiczenie12

RmtgHmIR61xht1

Zadanie interaktywne

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij iupuść.

x, -x, 9x, -2x, -3x, 6x

6x= ............ +1
4x+ ............ = x+ $\frac{1}{2}$
−4x+ ............ =−5x−5
2(x−3)=x+ ............
3( ............ −4)=−6x
2x−(6-7x)=2+ ............

Ćwiczenie13

RqSzjXIaKXNOi1

Zadanie interaktywne

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij iupuść.

7x, 5x, −4x, 2x, $\frac{1}{4}$ x

3x=7x+ ............
12x−5x= ............
4(x− ............ )=3x
−x+6x−8= ............ −1−7
−5( ............ $- 1 \frac{3}{5}$ x)=−3x+x

Ćwiczenie14

Wstaw takie wyrażenie algebraiczne wmiejsce $\dots$ , aby równanie $3 x - 1 = x + \dots$

miało jedno rozwiązanie
nie miało rozwiązania
miało nieskończenie wiele rozwiązań

Ćwiczenie15

Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.

$a^{3} = - 8$
$z^{2} = 100$
$x^{3} = 64$
$x^{2} (x - 3) = 0$
$(x^{2} - 9) (x^{2} - 25) = 0$
$x (2 x - 4) (x + 5) = 0$
$(y^{3} - 1) (y^{3} - 27) = 0$

Ćwiczenie16

Uzasadnij, że równanie $|x| = x$ nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)

FAQs

Jak obliczyć liczbę rozwiązań równania? ›

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

View Details ›

Jak obliczyć ile rozwiązań ma równanie? ›

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Read The Full Story ›

Jak sprawdzić ile rozwiązań ma układ równań? ›

Układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy proste, które są wykresami tych równań, przecinają się w jednym punkcie. Nie ma rozwiązań. Układ równań liniowych nie ma rozwiązań, gdy proste, które są wykresami tych równań, są równoległe. Nieskończenie wiele rozwiązań.

Get More Info ›

Kiedy równanie ma ile rozwiązań? ›

Równanie nazywamy: oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, tożsamościowym (nieoznaczonym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań, sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań.

Show Me More ›

Ile rozwiązań ma równanie pierwszego stopnia? ›

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe z jedną niewiadomą jak nazywamy równania w zależności od liczby rozwiązań? ›

Ważne! Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może: nie mieć żadnego rozwiązania, mieć dokładnie jedno rozwiązanie, mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Discover More ›

Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe? ›

Dodatni wyróżnik mówi, że równanie kwadratowe ma dwa różne, rzeczywiste rozwiązania. Wyróżnik równy zero mówi, że równanie kwadratowe ma jedno, dwukrotne rzeczywiste rozwiązanie.

Get More Info ›

Co to znaczy że liczba jest rozwiązaniem równania? ›

Liczba spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu w miejsce niewiadomej czyni z tego równania zdanie prawdziwe (tzn. lewa strona równania równa się prawej).

Keep Reading ›

Jak nazywa się równanie które nie ma rozwiązań? ›

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznymrównanie sprzecznerównaniem sprzecznym. Równanie, które jest spełnione przez wszystkie liczby nazywamy tożsamością lub. równanie tożsamościowerównaniem tożsamościowym.

Keep Reading ›

Ile rozwiązań ma układ równań oznaczony? ›

co to jest układ nieoznaczony, jak nazywamy układ równań, który ma dokładnie jedno rozwiązanie, co to jest układ oznaczony.

View Details ›

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania? ›

Metoda podstawiania polega na tym, że z jednego z równań wyznaczamy jedną z niewiadomych, następnie wstawiamy tak wyliczoną wartość niewiadomej do drugiego z równań. Drugie równanie staje się wtedy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Następnie rozwiązujemy to równanie i tak otrzymujemy wartość jednej z niewiadomych.

Find Out More ›

Ile rozwiązań ma układ równań Cramera? ›

Z faktu, że układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, wynika: Rozwiązanie zerowe jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego, gdy jest on układem Cramera.

See Details ›

Kiedy równanie ma 4 różne rozwiązania? ›

Jeżeli m (0,4), ma 4 rozwiązania, Jeżeli m=4, ma 3 rozwiązania, Jeżeli m (4,+ ∞) ma 2 rozwiązania.

Read The Full Story ›

Kiedy równanie ma 3 rozwiązania? ›

Równanie ma trzy różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich musi być dodatnie, a drugie równe 0.