Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb wmiejsce liter iwykonaniu wskazanych działań.
Wprzypadku równań także można podstawiać liczby wmiejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład1

R1ZGzQA5pGYGN1
Animacja

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (1)

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Liczba spełniająca dane równanie

Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej wmiejsce niewiadomej iwykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania ztymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy itylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład2

RupkdiwdEiADH1
Animacja

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2)

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. Wtym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając otym, że

  • do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,

  • obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład3

R1c9pRjO0d98i1
Animacja

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (3)

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Przykład4

R4Hvdj1eDHbUV1
Animacja

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (4)

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia zprzeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: 2x-5=x+1, przenosimy zprzeciwnym znakiem

  • x na lewą stronę równania

2x-x-5=1

  • -5 na prawą stronę równania

2x-x=1+5

x=6

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba 6.

RJ89HTmugtbOP1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x=-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań wzbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (5)

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x=-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań wzbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.

i6rXaDAENV_d5e553

Równania zjedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania

Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład5

Rozwiąż równania

  • x2=25
    Rozwiązanie: x=5,x=-5

  • x3=0
    Rozwiązanie: x=0

  • x2=-4
    Rozwiązanie: brak rozwiązania

Przykład6

Znajdź pierwiastek rozwiązania.

Przykład7

  • Równania, które nie mają rozwiązania:

x+2=x, x2=-25

  • Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

2x-2x+2x=2x, 0x=0

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe

Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia zjedną niewiadomą może:

  • nie mieć rozwiązania,

  • mieć dokładnie jedno rozwiązanie,

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

i6rXaDAENV_d5e843
A

Ćwiczenie1

RqYHozV72SiRA1
Zadanie interaktywne

Połącz równanie zjego rozwiązaniem.

<span aria-label="z, równa się, trzy z, minus, cztery" role="math"><math><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="trzy x, plus, dwa, równa się, pięć" role="math"><math><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="dwa y, równa się, y, minus, jeden" role="math"><math><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, minus, cztery" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="z, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero" role="math"><math><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>

1
-1
2
-2
12
-12
112
-112

classicmobile

Ćwiczenie2

Liczbą spełniającą równanie 2x-1+2=4x+14 jest

RmbIWTF3hm1QW
  • - 7
  • 7
  • 6 1 2
  • 1 7

static

classicmobile

Ćwiczenie3

Liczbą spełniającą równanie xx+1x2+1=3x2+1 jest

R14zaTWS9uYVe
  • - 1
  • 1
  • 2
  • - 1 3

static

classicmobile

Ćwiczenie4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1GNYc6uxBdIY
  • - 3 x + 2 + 4 = 6 - x , x = - 4
  • - - 8 x + 7 = 4 x + 3 - 3 , x = 4
  • 2 x - 2 - 3 x + 2 = 4 x - 4 , x = - 1
  • 1 2 x - 2 - x 3 = x - 1 6 , x = 3
  • 2 x - 1 2 3 x - 1 2 = 1 4 + x 4 x - 1 2 , x = 1

static

classicmobile

Ćwiczenie5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę -23.

Ru7SxUQIGOmf1
  • 2 3 x + 1 = - 1 + 4 x
  • 1 + x = x + 2 4
  • 6 x x + 1 = - 4 1 2 x + 2 3

static

A

Ćwiczenie6

R1C4TgGioRgZN1
Zadanie interaktywne

Przeciągnij elementy zdolnej sekcji do górnej.

2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <span aria-label="zero, razy, z, równa się, zero" role="math"><math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>, x+3=3, <span aria-label="pięć, razy, x, równa się, minus, pięć" role="math"><math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="x indeks górny, trzy, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math></span>, <span aria-label="x indeks górny, dwa, równa się, minus, szesnaście" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math></span>, x=x, 2x+3=3+2x, <span aria-label="x indeks górny, dwa, równa się, zero" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>

Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Nieskończenie wiele rozwiązań

classicmobile

Ćwiczenie7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1E2MAulNkcri
  • Równanie x 2 = 0 ma dwa rozwiązania.
  • Równanie 2 x 2 + 3 = 0 jest równaniem sprzecznym.
  • Równanie x 2 - 3 = 1 jest równaniem sprzecznym.
  • Równanie 13 x = 0 jest równaniem sprzecznym.
  • Równanie x 2 = 81 ma jedno rozwiązanie.
  • Równanie 2 x 2 + 3 = 3 + 2 x 2 jest równaniem tożsamościowym.
  • Równanie x 2 = 0 jest równaniem sprzecznym.
  • Równanie a + 17 = 2 a + 17 - a jest równaniem tożsamościowym.
  • Równanie x - 2 = 2 - x jest równaniem sprzecznym.
  • Równanie x = x + 11 jest równaniem tożsamościowym.

static

classicmobile

Ćwiczenie8

Które zpodanych równań jest sprzeczne?

R1JRrmZivI4aJ
  • 3 x - 1 = 3 x + 1
  • x - 10 = 10 - x
  • x 2 + 2 = 0
  • 2 x = - 2 x + 1
  • x + 4 = x
  • x + 9 = x + 9

static

classicmobile

Ćwiczenie9

Które zpodanych równań jest sprzeczne?

R1Moj9BPmaoek
  • - 6 x + 6 = - 6 x
  • x + x - 1 = 2 x - 1
  • x - 10 = x + 10
  • 0 y = - 1
  • 2 x - 1 = 2 x - 1

static

classicmobile

Ćwiczenie10

Które zpodanych równań są tożsamościowe?

RcejPGdhMxvFr
  • 2 x = 2 x
  • - x - 7 = - x - 7
  • 0 x = 0
  • 4 x + 2 = 4 x + 2
  • x 2 + 1 = 1 + x 2
  • x + 6 = 6
  • - x - 7 = 7 - x
  • x - 4 = 4 - x
  • 4 x + 2 = 4 x + 8

static

i6rXaDAENV_d5e1404
A

Ćwiczenie11

R138XECs9A5CZ1
Zadanie interaktywne
A

Ćwiczenie12

RmtgHmIR61xht1
Zadanie interaktywne

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij iupuść.

x, -x, 9x, -2x, -3x, 6x

6x= ............ +1
4x+ ............ = x+12
−4x+ ............ =−5x−5
2(x−3)=x+ ............
3( ............ −4)=−6x
2x−(6-7x)=2+ ............

A

Ćwiczenie13

RqSzjXIaKXNOi1
Zadanie interaktywne

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij iupuść.

7x, 5x, −4x, 2x, 14x

3x=7x+ ............
12x−5x= ............
4(x− ............ )=3x
−x+6x−8= ............ −1−7
−5( ............ -135x)=−3x+x

A

Ćwiczenie14

Wstaw takie wyrażenie algebraiczne wmiejsce , aby równanie 3x-1=x+

  1. miało jedno rozwiązanie

  2. nie miało rozwiązania

  3. miało nieskończenie wiele rozwiązań

C

Ćwiczenie15

Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.

  1. a3=-8

  2. z2=100

  3. x3=64

  4. x2x-3=0

  5. x2-9x2-25=0

  6. x2x-4x+5=0

  7. y3-1y3-27=0

B

Ćwiczenie16

Uzasadnij, że równanie x=x nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)

FAQs

Jak obliczyć liczbę rozwiązań równania? ›

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Jak obliczyć ile rozwiązań ma równanie? ›

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Jak sprawdzić ile rozwiązań ma układ równań? ›

Układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy proste, które są wykresami tych równań, przecinają się w jednym punkcie. Nie ma rozwiązań. Układ równań liniowych nie ma rozwiązań, gdy proste, które są wykresami tych równań, są równoległe. Nieskończenie wiele rozwiązań.

Kiedy równanie ma ile rozwiązań? ›

Równanie nazywamy: oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, tożsamościowym (nieoznaczonym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań, sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań.

Ile rozwiązań ma równanie pierwszego stopnia? ›

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe z jedną niewiadomą jak nazywamy równania w zależności od liczby rozwiązań? ›

Ważne! Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może: nie mieć żadnego rozwiązania, mieć dokładnie jedno rozwiązanie, mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe? ›

Dodatni wyróżnik mówi, że równanie kwadratowe ma dwa różne, rzeczywiste rozwiązania. Wyróżnik równy zero mówi, że równanie kwadratowe ma jedno, dwukrotne rzeczywiste rozwiązanie.

Co to znaczy że liczba jest rozwiązaniem równania? ›

Liczba spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu w miejsce niewiadomej czyni z tego równania zdanie prawdziwe (tzn. lewa strona równania równa się prawej).

Jak nazywa się równanie które nie ma rozwiązań? ›

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznymrównanie sprzecznerównaniem sprzecznym. Równanie, które jest spełnione przez wszystkie liczby nazywamy tożsamością lub. równanie tożsamościowerównaniem tożsamościowym.

Ile rozwiązań ma układ równań oznaczony? ›

co to jest układ nieoznaczony, jak nazywamy układ równań, który ma dokładnie jedno rozwiązanie, co to jest układ oznaczony.

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania? ›

Metoda podstawiania polega na tym, że z jednego z równań wyznaczamy jedną z niewiadomych, następnie wstawiamy tak wyliczoną wartość niewiadomej do drugiego z równań. Drugie równanie staje się wtedy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Następnie rozwiązujemy to równanie i tak otrzymujemy wartość jednej z niewiadomych.

Ile rozwiązań ma układ równań Cramera? ›

Z faktu, że układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, wynika: Rozwiązanie zerowe jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego, gdy jest on układem Cramera.

Kiedy równanie ma 4 różne rozwiązania? ›

Jeżeli m (0,4), ma 4 rozwiązania, Jeżeli m=4, ma 3 rozwiązania, Jeżeli m (4,+ ∞) ma 2 rozwiązania.

Kiedy równanie ma 3 rozwiązania? ›

Równanie ma trzy różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich musi być dodatnie, a drugie równe 0.

Czy równanie sprzeczne ma zero rozwiązań? ›

Równanie sprzeczne jest to równanie, które nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie tożsamościowe jest to równanie, którego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista należąca do dziedziny równania.

Ile rozwiązań w ciele liczb zespolonych ma równanie? ›

Równania w dziedzinie zespolonej – teoria

Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa rozwiązania (wliczając krotności pierwiastków). Równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych mają rozwiązania zespolone będące liczbami sprzężonymi.

Kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania? ›

Jeżeli Δ>0 to równanie ma dwa rozwiązania. Jeżeli Δ=0 to równanie ma jedno rozwiązanie. Jeżeli Δ<0 to równanie nie ma rozwiązań.

Jak sprawdzić czy liczba spełnia równanie? ›

Liczba spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu w miejsce niewiadomej czyni z tego równania zdanie prawdziwe (tzn. lewa strona równania równa się prawej).

Top Articles
Latest Posts
Recommended Articles
Article information

Author: Amb. Frankie Simonis

Last Updated:

Views: 6177

Rating: 4.6 / 5 (76 voted)

Reviews: 91% of readers found this page helpful

Author information

Name: Amb. Frankie Simonis

Birthday: 1998-02-19

Address: 64841 Delmar Isle, North Wiley, OR 74073

Phone: +17844167847676

Job: Forward IT Agent

Hobby: LARPing, Kitesurfing, Sewing, Digital arts, Sand art, Gardening, Dance

Introduction: My name is Amb. Frankie Simonis, I am a hilarious, enchanting, energetic, cooperative, innocent, cute, joyous person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.