Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)
Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb wmiejsce liter iwykonaniu wskazanych działań. Wprzypadku równań także można podstawiać liczby wmiejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.
Przykład1
R1ZGzQA5pGYGN1
Liczba spełniająca dane równanie
Definicja: Liczba spełniająca dane równanie
Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej wmiejsce niewiadomej iwykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.
Rozwiązanie równania
Definicja: Rozwiązanie równania
Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Równania równoważne
Definicja: Równania równoważne
Mówimy, że równania ztymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy itylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.
Przykład2
RupkdiwdEiADH1
Zapamiętaj!
Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. Wtym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając otym, że
do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.
Przykład3
R1c9pRjO0d98i1
Przykład4
R4Hvdj1eDHbUV1
Zapamiętaj!
Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia zprzeciwnym znakiem na drugą stronę równania. Np. aby rozwiązać równanie: przenosimy zprzeciwnym znakiem
na lewą stronę równania
na prawą stronę równania
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba .
RJ89HTmugtbOP1i6rXaDAENV_d5e553
Równania zjedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Zbiór rozwiązań równania
Definicja: Zbiór rozwiązań równania
Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.
Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:
,
Równanie sprzeczne
Definicja: Równanie sprzeczne
Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.
Równanie tożsamościowe
Definicja: Równanie tożsamościowe
Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.
Ważne!
Liczba rozwiązań równania. Równanie pierwszego stopnia zjedną niewiadomą może:
nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.
i6rXaDAENV_d5e843A
Ćwiczenie1
RqYHozV72SiRA1
Zadanie interaktywne
Połącz równanie zjego rozwiązaniem.
<span aria-label="z, równa się, trzy z, minus, cztery" role="math"><math><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="trzy x, plus, dwa, równa się, pięć" role="math"><math><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="dwa y, równa się, y, minus, jeden" role="math"><math><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, minus, cztery" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="z, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero" role="math"><math><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>
classicmobile
Ćwiczenie2
Liczbą spełniającą równanie jest
RmbIWTF3hm1QW
static
classicmobile
Ćwiczenie3
Liczbą spełniającą równanie jest
R14zaTWS9uYVe
static
classicmobile
Ćwiczenie4
Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.
R1GNYc6uxBdIY
static
classicmobile
Ćwiczenie5
Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę .
Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.
Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.
Układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy proste, które są wykresami tych równań, przecinają się w jednym punkcie. Nie ma rozwiązań. Układ równań liniowych nie ma rozwiązań, gdy proste, które są wykresami tych równań, są równoległe. Nieskończenie wiele rozwiązań.
Równanie nazywamy: oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie,tożsamościowym (nieoznaczonym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań.
Ważne! Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może: nie mieć żadnego rozwiązania, mieć dokładnie jedno rozwiązanie, mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.
Dodatni wyróżnik mówi, że równanie kwadratowe ma dwa różne, rzeczywiste rozwiązania.Wyróżnik równy zero mówi, że równanie kwadratowe ma jedno, dwukrotne rzeczywiste rozwiązanie.
Liczba spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu w miejsce niewiadomej czyni z tego równania zdanie prawdziwe (tzn. lewa strona równania równa się prawej).
Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznymrównanie sprzecznerównaniem sprzecznym. Równanie, które jest spełnione przez wszystkie liczby nazywamy tożsamością lub. równanie tożsamościowerównaniem tożsamościowym.
Metoda podstawiania polega na tym, że z jednego z równań wyznaczamy jedną z niewiadomych, następnie wstawiamy tak wyliczoną wartość niewiadomej do drugiego z równań. Drugie równanie staje się wtedy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Następnie rozwiązujemy to równanie i tak otrzymujemy wartość jednej z niewiadomych.
Z faktu, że układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, wynika: Rozwiązanie zerowe jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego, gdy jest on układem Cramera.
Równanie sprzeczne jest to równanie, które nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie tożsamościowe jest to równanie, którego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista należąca do dziedziny równania.
Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa rozwiązania (wliczając krotności pierwiastków). Równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych mają rozwiązania zespolone będące liczbami sprzężonymi.
Liczba spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu w miejsce niewiadomej czyni z tego równania zdanie prawdziwe (tzn. lewa strona równania równa się prawej).
Hobby: LARPing, Kitesurfing, Sewing, Digital arts, Sand art, Gardening, Dance
Introduction: My name is Amb. Frankie Simonis, I am a hilarious, enchanting, energetic, cooperative, innocent, cute, joyous person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.
We notice you're using an ad blocker
Without advertising income, we can't keep making this site awesome for you.