Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (2024)

Już wiesz

Szukając liczb, które spełniają równanie, możemy to równanie przekształcać równoważnie. Stosujemy następujące zasady

po obu stronach równania można wykonać wskazane działania (np. wykorzystując wzory skróconego mnożenia),
do obu stron równania możemy dodać to samo wyrażenie, pod warunkiem że nie zmienimy dziedziny równania (wyrażenia możemy przenosić zjednej strony równania na drugą pod warunkiem zmiany znaku tego wyrażenia na przeciwny),
możemy mnożyć lub dzielić obie strony równania przez dowolną liczbę różną od zera.

Przykład1

Rozwiąż równanie

$\frac{x + 1}{2} = 2 - \frac{x - 3}{4} .$

Mnożymy obie strony równania przez $4$ .

$2 (x + 1) = 8 - (x - 3)$

$2 x + 2 = 8 - x + 3$

$2 x + x = 8 - 2 + 3$

$3 x = 9$

$x = 3$

Rozwiązaniem równania $\frac{x + 1}{2} = 2 - \frac{x - 3}{4}$ jest liczba $3$ .

Rozwiąż równanie

$3 (x - 5) = x + 2 (x + 4) .$

Przekształcając kolejno, otrzymujemy

$3 (x - 5) = x + 2 (x + 4)$

$3 x - 15 = x + 2 x + 8$

$3 x - x - 2 x = 15 + 8$

$0 ∙ x = 23$

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ $0 \neq 23$ . Zatem nie istnieje liczba, która spełnia to równanie. Jest to równanie sprzeczne.

Wyznacz liczby, które spełniają równanie

$(x - 3) (x + 2) + 1 = (x - 1) (x + 5) - 5 x .$

Po przekształceniach otrzymujemy

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 + 1 = x^{2} - x + 5 x - 5 - 5 x$

$x^{2} - x - 5 = x^{2} - x - 5 .$

Po obu stronach równania otrzymaliśmy to samo wyrażenie. Ztego wynika, że równanie jest spełnione dla dowolnej liczby $x$ . Jest to równanie tożsamościowe.

Przykład2

Rozwiąż nierówność

$3 x - 4 < 5 x + 2 .$

Przy rozwiązywaniu nierówności możemy wykorzystywać zasady podobne do tych, które pozwalały rozwiązywać równania. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy zmienić zwrot nierówności.

Zapamiętaj!

Obie strony nierówności możemy mnożyć lub dzielić przez dowolną liczbę:

dodatnią – wtedy zachowujemy ten sam zwrot nierówności,
ujemną – wtedy zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.

Wkażdym przypadku otrzymamy nierówność równoważną danej.

Przykład3

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające nierówność $x > - 3$ .

RYtc7lhDsn3rb1

Równania inierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (1)

Do zbioru $(- 3, + \infty)$ należą liczby większe od $(- 3)$ . Zbiór taki nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Zapis $x \in (- 3, + \infty)$ oznacza, że liczba $x$ należy do tego przedziału, np. $4 \in (- 3, + \infty)$ , azapis $x \notin (- 3 + \infty)$ oznacza, że liczba $x$ nie należy do tego przedziału np. $- 5 \notin (- 3 + \infty)$ .

Przykład4

Prześledzimy rozwiązanie „krok po kroku”.

R62Bw71J8hl2A1

Równania inierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (2)

Przykład5

Rozwiąż nierówność

$\frac{5 x + 7}{2} > 3 x + 5 .$

Przekształcamy nierówność równoważnie.

$\frac{5 x + 7}{2} > 3 x + 5$

$5 x + 7 > 6 x + 10$

$5 x - 6 x > 10 - 7$

$- x > 3$

$x < - 3 .$

Rozwiązaniem nierówności $\frac{5 x + 7}{2} > 3 x + 5$ jest każda liczba mniejsza od $(- 3)$ .
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność $x < - 3$ na osi liczbowej.

R1ILa7fOB7i3N1

Równania inierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (3)

Zbiór $(- \infty, - 3)$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Należą do niego liczby mniejsze od $(- 3)$ .

Przykład6

Rozwiąż nierówność

${(x - 2)}^{2} \leq (x + 4) (x + 1) - 9 .$

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność.
Rozwiązujemy nierówność.

${(x - 2)}^{2} \leq (x + 4) (x + 1) - 9$

$x^{2} - 4 x + 4 \leq x^{2} + 4 x + x + 4 - 9$

$x^{2} - 4 x - 4 x - x - x^{2} \leq 4 - 9 - 4$

$- 9 x \leq - 9$

$x \geq 1$

Rozwiązaniem nierówności ${(x - 2)}^{2} \leq (x + 4) (x + 1) - 9$ jest każda liczba większa lub równa $1$ .
Zaznaczymy wszytskie liczby spełniające nierówność $x \geq 1$ na osi liczbowej.

R1TrnOTIH8Dzw1

Równania inierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (4)

Zbiór $⟨1, \infty)$ nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Należą do niego liczby większe od $1$ , razem zliczbą $1$ .

Przykład7

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające nierówność

$x - 3 \leq \frac{2 x - 3}{5} .$

Rozwiążemy nierówność.

$x - 3 \leq \frac{2 x - 3}{5}$

$5 (x - 3) \leq 2 x - 3$

$5 x - 15 \leq 2 x - 3$

$3 x \leq 12$

$x \leq 4$

Rozwiązaniem nierówności $x - 3 \leq \frac{2 x - 3}{5}$ jest każda liczba mniejsza lub równa $4$ .
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność $x \leq 4$ na osi liczbowej.

R1ESCxD2MmEx31

Równania inierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (5)

Zbiór $(- \infty, 4⟩$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Należą do niego liczby mniejsze od $4$ , razem zliczbą $4 .$

Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe (2024)

FAQs

Jak zapisac przedział nierówności? ›

Do zbioru ( - 3 , + ∞ ) należą liczby większe od ( - 3 ) . Zbiór taki nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Zapis x ∈ - 3 , + ∞ oznacza, że liczba x należy do tego przedziału, np. 4 ∈ ( - 3 , + ∞ ) , a zapis x ∉ - 3 + ∞ oznacza, że liczba x nie należy do tego przedziału np.

View Details ›

Jak poprawnie zapisać przedziały liczbowe? ›

Można zakres oznaczyć łącznikiem bez spacji (np. 40 000-50 000 ludzi), półpauzą bez spacji (np. 40 000–50 000 ludzi), kreską liczbową bez spacji (ang. figure dash, symbol kodu: U+2012), myślnikiem ze spacjami, przy czym myślnik może przyjąć formę półpauzy lub pauzy (np.

Read The Full Story ›

Jakie są równania i nierówności? ›

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń, z których co najmniej jedno zawiera niewiadomą. Równanie może zawierać kilka niewiadomych. Nierównością nazywamy dwa wyrażenia, z których co najmniej jedno zawiera niewiadomą, połączone znakiem: lub znakiem (nierówność ostra), lub znakiem lub znakiem (nierówność nieostra).

Get More Info ›

Jak zapisac przedział Domkniety? ›

Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>. Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe ( - 3 ) i jednocześnie mniejsze lub równe 5 .

Show Me More ›

Jak zapisac sume przedziałów? ›

Każdy przedział to pewien zbiór liczb rzeczywistych. Zatem mówiąc o sumie przedziałów, mówimy o sumie zbiorów. W praktyce, gdy mamy do zsumowania dwa przedziały najlepiej jest je narysować na osi liczbowej, a następnie spisać przedział, który obejmuje wszystkie zaznaczone liczby (suma przedziałów).

Jak zapisac cześć wspolna Przedzialow? ›

Iloczyn przedziałów A i B oznaczamy jako A ∩ B i nazywamy inaczej częścią wspólną.

Discover More ›

Jakie są rodzaje nierówności? ›

Rodzaje nierówności

Autor wyróżnia trzy formy nierówności: życiową, egzystencjalną oraz zasobów.

Get More Info ›

Co to prawdziwa nierówność? ›

Mówimy, że liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu wskazanych działań otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą.

Keep Reading ›

Jak zapisać przedział Matematyka? ›

Możemy użyć zapisu przedziałowego do pokazania, że wartość znajduje się gdzieś pomiędzy dwoma punktami ograniczającymi. Na przykład -3≤x≤2, [-3,2], i {x∈ℝ|-3≤x≤2} oznaczają, że x znajduje się gdzieś pomiędzy -3 a 2, ale może też znajdować się na którymkolwiek z punktów ograniczających.

Keep Reading ›

Jak oznaczamy przedziały liczbowe? ›

Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb x spełniających warunek a < x < b . Przedział ten oznaczamy a , b . Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb x spełniających warunek a ≤ x ≤ b . Przedział ten oznaczamy a , b .

View Details ›

Jak poprawnie zapisać przedział czasowy? ›

W języku polskim najpierw piszemy dzień, potem miesiąc, a na końcu rok. Tę samą datę prawidłowo można zapisać tak: • 15.11.2021 • 15 XI 2021 • 15 listopada 2021 (można dopisać na końcu „r.” lub „roku”). Normy zapisu technicznego pozwalają nam odwrócić kolej- ność.

Find Out More ›

Jak się zaznacza przedziały? ›

Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb x spełniających warunek a < x < b . Przedział ten oznaczamy a , b . Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb x spełniających warunek a ≤ x ≤ b . Przedział ten oznaczamy a , b .

See Details ›

Jak wstawić znak nierówności? ›

Windows: Przytrzymaj klawisz Alt i wpisz 8800 na klawiaturze numerycznej, a następnie zwolnij klawisz Alt . Mac: Naciśnij Option + = . Linux: Naciśnij Ctrl + Shift + u , następnie wpisz 2260 i naciśnij Enter .

Read The Full Story ›

Jak zapisać zbiór rozwiązań nierówności? ›

Na osi liczbowej liczbę oznaczamy pustym kółeczkiem. Zbiór rozwiązań nierówności składa się z wszystkich liczb, które są większe od . Zbiór rozwiązań nierówności zapisujemy za pomocą przedziału liczbowego lewostronnie otwartego .